Question

4．如圖，菱形ABCD的邊長為12，∠BAD=60°，AC∩BD=O，將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，DM=6$\sqrt{2}$．

（1）求證：OD⊥平面ABC；
（2）求三棱錐M-ABD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出OD⊥AC，DO⊥OM，由此能證明OD⊥面ABC．
（2）由V_M-ABD=V_D-ABM，能求出三棱錐M-ABD的體積．

解答 滿分（12分）．
證明：（1）∵ABCD是菱形，AD=DC，OD⊥AC，…（1分）
△ADC中，AD=DC=12，∠ADC=120°，∴OD=6，
又M是BC的中點(diǎn)，∴$OM=\frac{1}{2}AB=6，MD=6\sqrt{2}$，
∵OD²+OM²=MD²，∴DO⊥OM…（4分）
∵OM，AC?面ABC，OM∩AC=O，∴OD⊥面ABC． …（6分）
解：（2）△ABM中，AB=12，BM=6，∠ABM=120°，
∴${S}_{△ABM}=\frac{1}{2}•AB•BM•sin∠ABM$=$\frac{1}{2}•12•6•\frac{\sqrt{3}}{2}$=18$\sqrt{3}$，…（8分）
由（1）得OD⊥面ABC，
∴V_M-ABD=V_D-ABM=$\frac{1}{3}•OD•{S}_{△ABM}$
=$\frac{1}{3}×6×18\sqrt{3}=36\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系及體積計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力；考查了化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．