Question

4．在英國(guó)的某一娛樂(lè)節(jié)目中，有一種過(guò)關(guān)游戲，規(guī)則如下：轉(zhuǎn)動(dòng)圖中轉(zhuǎn)盤(pán)（一個(gè)圓盤(pán)四等分，在每塊區(qū)域內(nèi)分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4），由轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)指針?biāo)�指�?shù)字決定是否過(guò)關(guān)．在闖n關(guān)時(shí)，轉(zhuǎn)n次，當(dāng)次轉(zhuǎn)得數(shù)字之和大于n²時(shí)，算闖關(guān)成功，并繼續(xù)闖關(guān)，否則停止闖關(guān)，闖過(guò)第一關(guān)能獲得10歐元，之后每多闖一關(guān)，獎(jiǎng)金翻倍．假設(shè)每個(gè)參與者都會(huì)持續(xù)闖關(guān)到不能過(guò)關(guān)為止，并且轉(zhuǎn)盤(pán)每次轉(zhuǎn)出結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求某人參加一次游戲，恰好獲得10歐元的概率；
（2）某人參加一次游戲，獲得獎(jiǎng)金X歐元，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）記“某人參加一次游戲，恰好獲得10歐元”為事件A，
由題意他只闖過(guò)了第一關(guān)，沒(méi)有過(guò)第二關(guān)，由此求出所求的概率；
（2）根據(jù)題意知X的所有可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，
寫(xiě)出隨機(jī)變量X的概率分布，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）記“某人參加一次游戲，恰好獲得10歐元”為事件A，
由題意知，他只闖過(guò)了第一關(guān)，沒(méi)有過(guò)第二關(guān)，
因此，他第一關(guān)轉(zhuǎn)得了2、3、4中的一個(gè)，
第二關(guān)轉(zhuǎn)得了（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）中的一個(gè)，
∴所求的概率為P（A）=$\frac{3}{4}$×（5×$\frac{1}{16}$）=$\frac{15}{64}$；
（2）根據(jù)題意，X的所有可能取值為0，10，20，40；
計(jì)算P（X=0）=$\frac{1}{4}$，P（X=10）=$\frac{15}{64}$，
P（X=20）=$\frac{3}{4}$×$\frac{11}{16}$×$\frac{54}{64}$=$\frac{891}{2048}$，
P（X=40）=$\frac{3}{4}$×$\frac{11}{16}$×$\frac{10}{64}$=$\frac{165}{2048}$，
∴X的概率分布為：

X	0	10	20	40
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{891}{2048}$	$\frac{165}{2048}$

數(shù)學(xué)期望為：
E（X）=0×$\frac{1}{4}$+10×$\frac{15}{64}$+20×$\frac{891}{2048}$+40×$\frac{165}{2048}$=$\frac{7305}{512}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．