Question

12．已知（1+mx）ⁿ（m∈R，n∈N*）的展開式的二項式系數(shù)之和為32，且展開式中含x³項的系數(shù)為80．則（1+mx）ⁿ（1-x）⁶展開式中含x²項的系數(shù)為-5．

Answer 1

分析 由題意可得：2ⁿ=32，解得n=5，由（1+mx）⁵的展開式的通項公式，及其展開式中含x³項的系數(shù)為80．解得m=2．把（1+2x）⁵（1-x）⁶展開即可得出．

解答 解：由題意可得：2ⁿ=32，解得n=5，
（1+mx）⁵的展開式的通項公式：T_r+1=${∁}_{5}^{r}$（mx）^r=m^r${∁}_{5}^{r}$x^r，令r=3，
則${m}^{3}{∁}_{5}^{3}$=80，解得m=2．
則（1+2x）⁵（1-x）⁶=$（1+{∁}_{5}^{1}•2x+{∁}_{5}^{2}（2x）^{2}+…）$$（1-{∁}_{6}^{1}x+{∁}_{6}^{2}{x}^{2}+…）$，
∴展開式含x²項的系數(shù)為=${∁}_{6}^{2}$+${∁}_{5}^{2}×{2}^{2}$-2${∁}_{5}^{1}•{∁}_{6}^{1}$=-5．
故答案為：-5．

點評 本題考查了二項式定理的展開式及其通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．