Question

【題目】已知拋物線 : 過點的直線交拋物線于兩點，設(shè)

(1)若點 關(guān)于軸的對稱點為，求證：直線經(jīng)過拋物線 的焦點；

(2)若求當(dāng)最大時，直線的方程．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2).

【解析】試題分析：（1）設(shè)出P和Q的坐標(biāo)，根據(jù)P和M關(guān)于x軸對稱表示出M的坐標(biāo)，利用設(shè)出的坐標(biāo)表示出和，根據(jù)，化簡即可得到P和Q的橫坐標(biāo)，然后由拋物線的方程找出焦點F的坐標(biāo)，然后利用M，F(xiàn)和Q的坐標(biāo)表示出向量，利用剛才化簡的式子及求出的橫坐標(biāo)代入即可得到=λ，所以得到直線MQ過F點；（2）由第一問求得的P和Q的橫坐標(biāo)相乘等于1，由y12﹣y22=16x1x2=16，y1y2＞0，得到y(tǒng)1y2的值，利用兩點間的距離公式表示出|PQ|2，然后把P和Q的橫坐標(biāo)及得到的y1y2的值及x1x2的值分別代入得到關(guān)于λ的關(guān)系式，配方后利用λ的范圍求出λ+的范圍，即可求出λ+的最大值，讓其等于最大值解出此時λ的值，把λ的值代入關(guān)于λ的關(guān)系式即可求出|PQ|2的最大值，即得到|PQ|最大值，并利用λ的值求出此時P和Q兩點的坐標(biāo)，根據(jù)兩點的坐標(biāo)即可寫出直線PQ的方程．

詳解：

（1）設(shè)

由拋物線C：得到F（1，0）

直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點F；

（2）由（1）知

則

當(dāng) 即 時， 有最大值，則的最大值為

此時

則直線的方程為：