Question

6．若數(shù)列{a_n}滿足$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=d$（n∈N^*，d為常數(shù)），則稱{a_n}為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項數(shù)列$\left\{{\frac{1}{x_n}}\right\}$為“調(diào)和數(shù)列”，且x₁+x₂+…+x₂₀=200，則$\frac{1}{x_3}+\frac{1}{{{x_{18}}}}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{10}$
• B． 10
• C． $\frac{1}{5}$
• D． 5

Answer 1

分析 結(jié)合調(diào)和數(shù)列的定義可得：x_n+1-x_n=t，（n∈N^*，t為常數(shù)），從而數(shù)列{x_n}是等差數(shù)列．由等差數(shù)列的性質(zhì)可得x₃+x₁₈=x₁+x₂₀=20，從而20≥2$\sqrt{{x}_{3}{x}_{18}}$，由此能求出$\frac{1}{x_3}+\frac{1}{{{x_{18}}}}$的最小值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=d$（n∈N^*，d為常數(shù)），則稱{a_n}為“調(diào)和數(shù)列”，
正項數(shù)列$\left\{{\frac{1}{x_n}}\right\}$為“調(diào)和數(shù)列”，
∴結(jié)合調(diào)和數(shù)列的定義可得：x_n+1-x_n=t，（n∈N^*，t為常數(shù)），
∴數(shù)列{x_n}是等差數(shù)列．
∵x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=200，
∴結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得：x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=10（x₁+x₂₀）=200，
∴x₃+x₁₈=x₁+x₂₀=20，
∴20≥2$\sqrt{{x}_{3}{x}_{18}}$，即x₃x₁₈≤100．
∴$\frac{1}{x_3}+\frac{1}{{{x_{18}}}}$=$\frac{{x}_{3}+{x}_{18}}{{x}_{3}{x}_{18}}$=$\frac{20}{{x}_{3}{x}_{18}}$≥$\frac{20}{100}$=$\frac{1}{5}$，
當且僅當x₃=x₁₈=10時，取等號，
∴$\frac{1}{x_3}+\frac{1}{{{x_{18}}}}$的最小值為$\frac{1}{5}$．
故選：C．

點評 本題考查數(shù)列中兩項和的最小值的求法，涉及到等差數(shù)列、等比數(shù)列、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．