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6.若數(shù)列{an}滿(mǎn)足1an+11an=d(n∈N*,d為常數(shù)),則稱(chēng){an}為“調(diào)和數(shù)列”,已知正項(xiàng)數(shù)列{1xn}為“調(diào)和數(shù)列”,且x1+x2+…+x20=200,則1x3+1x18的最小值為(  )
A.110B.10C.15D.5

分析 結(jié)合調(diào)和數(shù)列的定義可得:xn+1-xn=t,(n∈N*,t為常數(shù)),從而數(shù)列{xn}是等差數(shù)列.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得x3+x18=x1+x20=20,從而20≥2x3x18,由此能求出1x3+1x18的最小值.

解答 解:∵數(shù)列{an}滿(mǎn)足1an+11an=d(n∈N*,d為常數(shù)),則稱(chēng){an}為“調(diào)和數(shù)列”,
正項(xiàng)數(shù)列{1xn}為“調(diào)和數(shù)列”,
∴結(jié)合調(diào)和數(shù)列的定義可得:xn+1-xn=t,(n∈N*,t為常數(shù)),
∴數(shù)列{xn}是等差數(shù)列.
∵x1+x2+x3+…+x20=200,
∴結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得:x1+x2+x3+…+x20=10(x1+x20)=200,
∴x3+x18=x1+x20=20,
∴20≥2x3x18,即x3x18≤100.
1x3+1x18=x3+x18x3x18=20x3x1820100=15,
當(dāng)且僅當(dāng)x3=x18=10時(shí),取等號(hào),
1x3+1x18的最小值為15
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列中兩項(xiàng)和的最小值的求法,涉及到等差數(shù)列、等比數(shù)列、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.

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