A. | $\frac{1}{10}$ | B. | 10 | C. | $\frac{1}{5}$ | D. | 5 |
分析 結(jié)合調(diào)和數(shù)列的定義可得:xn+1-xn=t,(n∈N*,t為常數(shù)),從而數(shù)列{xn}是等差數(shù)列.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得x3+x18=x1+x20=20,從而20≥2$\sqrt{{x}_{3}{x}_{18}}$,由此能求出$\frac{1}{x_3}+\frac{1}{{{x_{18}}}}$的最小值.
解答 解:∵數(shù)列{an}滿足$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=d$(n∈N*,d為常數(shù)),則稱{an}為“調(diào)和數(shù)列”,
正項數(shù)列$\left\{{\frac{1}{x_n}}\right\}$為“調(diào)和數(shù)列”,
∴結(jié)合調(diào)和數(shù)列的定義可得:xn+1-xn=t,(n∈N*,t為常數(shù)),
∴數(shù)列{xn}是等差數(shù)列.
∵x1+x2+x3+…+x20=200,
∴結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得:x1+x2+x3+…+x20=10(x1+x20)=200,
∴x3+x18=x1+x20=20,
∴20≥2$\sqrt{{x}_{3}{x}_{18}}$,即x3x18≤100.
∴$\frac{1}{x_3}+\frac{1}{{{x_{18}}}}$=$\frac{{x}_{3}+{x}_{18}}{{x}_{3}{x}_{18}}$=$\frac{20}{{x}_{3}{x}_{18}}$≥$\frac{20}{100}$=$\frac{1}{5}$,
當且僅當x3=x18=10時,取等號,
∴$\frac{1}{x_3}+\frac{1}{{{x_{18}}}}$的最小值為$\frac{1}{5}$.
故選:C.
點評 本題考查數(shù)列中兩項和的最小值的求法,涉及到等差數(shù)列、等比數(shù)列、基本不等式等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 8$\sqrt{3}$ | B. | 4$\sqrt{3}$ | C. | 8$\sqrt{3}$+2 | D. | 4$\sqrt{3}$+2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{13}{25}$ | B. | $\frac{12}{25}$ | C. | $\frac{13}{20}$ | D. | $\frac{3}{5}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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