Question

如圖，B是△PAC的邊AC上一點，且AB=2BC=4，∠APB=90°，∠CPB=30°，則

PA

•

PC

=

-6

．

Answer 1

分析：設(shè)PB長為x，在△PBC中利用正弦定理，算出

|PC|

=

3

x．再在△PBC中算出sinC關(guān)于x的式子，利用正弦定理建立關(guān)于x的方程，解出x的值，從而得到向量

PA

、

PC

的長度，結(jié)合數(shù)量積的計算公式，得到所求的結(jié)果．

解答：解：設(shè)

|PB|

=x，
則Rt△PAB中，

|PA|

=

16-x2

，sinA=

|PB|

|AB|

=

x

4

∵△PBC中，

AC

sin120°

=

PC

sinA

∴

|PC|

=

3

x
sin∠PBC=sin∠PBA=cosA=

16-x2

4

，cos∠PBC=-cos∠PBA=-sinA=-

x

4

∴sinC=sin（∠PBC+∠BPC）=

16-x2

4

cos30°+（-

x

4

）sin30°=

48-3x2 -x

8

在△PBC中，

PB

sinC

=

BC

sin∠CPB

，即

x

48-3x2 -x 8

=

2

sin30°

解之得：x=2，所以

|PA|

=

16-22

=2

3

，

|PC|

=

3

x=2

3

∴

PA

•

PC

=

|PA|

•

|PC|

cos120°=2

3

•2

3

•（-

1

2

）=-6
故答案為：-6

點評：本題在特殊三角形中求向量的數(shù)量積，著重考查了正弦定理解三角形和向量數(shù)量積的運算等知識，屬于基礎(chǔ)題．