Question

8．如圖，已知△ABC中，B=90°，∠C的平分線交AB于D，以AD為直徑的圓O交AC于點E、交CD于點F．
（1）求證：AE•AC=AD•AB；
（2）若BD=1，BC=$\sqrt{3}$，求點F到線段AC的距離．

Answer 1

分析 （1）連接DE，則∠DEC=90°，證明C，E，D，B四點共圓，利用切割線定理證明AE•AC=AD•AB；
（2）若BD=1，BC=$\sqrt{3}$，求出CF，即可求點F到線段AC的距離．

解答 證明：（1）連接DE，則∠DEC=90°，
∵∠B=90°，
∴C，E，D，B四點共圓，
∴AE•AC=AD•AB；
解：（2）若BD=1，BC=$\sqrt{3}$，
則∠DCB=30°，∠ACB=60°，
∴AC=2$\sqrt{3}$，CE=$\sqrt{3}$，CD=2，
∵CE•CA=CD•CF，
∴CF=3，
∴點F到線段AC的距離為$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段和切割線定理，證明乘積式的問題，屬于中檔題．