Question

13．已知函數(shù)f（x）=ln$\frac{1}{2x}$-ax²+x，
（1）討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，證明：f（x₁）+f（x₂）＞3-4ln2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值的個(gè)數(shù)；
（2）根據(jù)x₁，x₂是方程2ax²-x+1=0的兩根，得到${x_1}+{x_2}=\frac{1}{2a}$，${x_1}{x_2}=\frac{1}{2a}$，求出f（x₁）+f（x₂），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）由$f（x）=ln\frac{1}{2x}-a{x^2}+x=-ln2x-a{x^2}+x$，
得：${f^/}（x）=-\frac{1}{x}-2ax+1=\frac{{-2a{x^2}+x-1}}{x}，x∈（0，+∞）$，
（ⅰ）a=0時(shí)，${f^/}（x）=\frac{x-1}{x}$，
x∈（0，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
所以x=1，f（x）取得極小值，x=1是f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn)．
（ⅱ）a＜0時(shí)，△=1-8a＞0，令f′（x）=0，得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-8a}}}{4a}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-8a}}}{4a}$
顯然，x₁＞0，x₂＜0，
∴$x∈（0，{x_1}），{f^/}（x）＜0，x∈（{x_1}，+∞），{f^/}（x）＞0$，
f（x）在x=x₁取得極小值，f（x）有一個(gè)極小值點(diǎn)．
（ⅲ）a＞0時(shí)，△=1-8a≤0即$a≥\frac{1}{8}$時(shí)，f′（x）≤0，
f（x）在（0，+∞）是減函數(shù)，f（x）無(wú)極值點(diǎn)．
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{8}$時(shí)，△=1-8a＞0，令f′（x）=0，得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-8a}}}{4a}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-8a}}}{4a}$
當(dāng)x∈（0，x₁）和x∈（x₂，+∞）f′（x）＜0，x∈（x₁，x₂）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在x₁取得極小值，在x₂取得極大值，所以f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．
綜上可知：（�。゛≤0時(shí)，f（x）僅有一個(gè)極值點(diǎn)；
（ⅱ） 當(dāng)$a≥\frac{1}{8}$時(shí)，f（x）無(wú)極值點(diǎn)；
（ⅲ）當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{8}$時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．
（2）證明：由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)a∈（0，$\frac{1}{8}$）時(shí)，f（x）有極小值點(diǎn)x₁和極大值點(diǎn)x₂，
且x₁，x₂是方程2ax²-x+1=0的兩根，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{1}{2a}$，${x_1}{x_2}=\frac{1}{2a}$，
$f（{x_1}）+f（{x_2}）=ln\frac{1}{{2{x_1}}}-a{x_1}^2+{x_1}+ln\frac{1}{{2{x_2}}}-a{x_2}^2+{x_2}$
=$-（ln2{x_1}+ln2{x_2}）-a（{x_1}^2+{x_2}^2）+（{x_1}+{x_2}）$
=$-ln\frac{2}{a}-a[\frac{1}{{4{a^2}}}-\frac{1}{a}]+\frac{1}{2a}$
=$ln\frac{a}{2}-\frac{1}{4a}+1+\frac{1}{2a}=lna+\frac{1}{4a}+1-ln2$，
設(shè)$g（a）=lna+\frac{1}{4a}+1-ln2，a∈（0，\frac{1}{8}）$，
${g^/}（a）=\frac{1}{a}-\frac{1}{{4{a^2}}}=\frac{4a-1}{{4{a^2}}}＜0$，
∴$a∈（0，\frac{1}{8}）$時(shí)，g（a）是減函數(shù)，$g（a）＞g（\frac{1}{8}）$，
∴$g（a）＞ln\frac{1}{8}+3-ln2=3-4ln2$，
∴f（x₁）+f（x₂）＞3-4ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論數(shù)思想，是一道綜合題．