分析 (1)求出OC的長(zhǎng)度,得到d的范圍,再由垂徑定理把弦長(zhǎng)用d表示,可得△OPQ的面積S的表達(dá)式;
(2)利用基本不等式求得S的最大值,得到相應(yīng)的d值,再由點(diǎn)到直線距離公式求得直線的斜率得答案.
解答 解:(1)如圖,
∵圓內(nèi)一點(diǎn)C(2,1),∴|OC|=$\sqrt{5}$,
則圓心O到直線l的距離為d∈(0,$\sqrt{5}$].
∵圓O的半徑為3,∴|PQ|=2$\sqrt{9-sgc46yy^{2}}$,
則S(d)=$\frac{1}{2}|PQ|•d=\frac{1}{2}×2\sqrt{9-esgk0ck^{2}}•d$=$\sqrt{(9-ei66iqw^{2})•2qiymak^{2}}$.
函數(shù)定義域?yàn)椋?,$\sqrt{5}$];
(2)由S(d)=$\sqrt{(9-cuscwo4^{2})•6uc84yi^{2}}$$≤\sqrt{(\frac{9-w0qmg2y^{2}+uke6sey^{2}}{2})^{2}}$=$\frac{9}{2}$.
得S的最大值為$\frac{9}{2}$,當(dāng)且僅當(dāng)9-d2=d2,即$qs0okwi^{2}=\frac{9}{2}$,d=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$∈(0,$\sqrt{5}$].
此時(shí)直線l的斜率存在,設(shè)為k,則直線方程為y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0.
由d=$\frac{|-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$,解得k=-1或k=-7.
∴直線l的方程為:x+y-3=0或7x+y-15=0.
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,訓(xùn)練了利用基本不等式求最值,是中檔題.
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A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
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A. | 精確值 | B. | 不足近似值 | C. | 過(guò)剩近似值 | D. | 以上都有可能 |
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