Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，直線：x＝－將線段F₁F₂分成兩段，其長(zhǎng)度之比為1 : 3．設(shè)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線l上．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；
(Ⅱ) 求的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ) [，）

解析試題分析： (Ⅰ) 設(shè)F₂(c，0)，則

＝，所以c＝1．
因?yàn)殡x心率e＝，所以a＝．
所以橢圓C的方程為．                       6分
(Ⅱ) 當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，直線AB方程為x＝－，此時(shí)P(，0)、Q(,0)
．
當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的斜率為k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
由 得(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，
則－1＋4mk＝0，故k＝．
此時(shí)，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為．
即．
聯(lián)立 消去y，整理得．
所以，．
于是(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂


．
令t＝1＋32m²，1＜t＜29，則．
又1＜t＜29，所以．
綜上，的取值范圍為[，）．                     15分
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。
點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線問(wèn)題每年高考都在壓軸題的位置出現(xiàn)，難度較大，但是一般也離不開(kāi)直線與圓聯(lián)立方程，運(yùn)算量較大，要注意數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求等方法的應(yīng)用.