解:(Ⅰ)由題得:a
1+a
2+…+a
n-1+a
n=n(2n+1) ①,
a
1+a
2+…+a
n-1=(n-1)(2n-1) ②,
兩式相減,得a
n=4n-1(n≥2)
又
,解得a
1=3=4×1-1,
∴a
n=4n-1(n∈N
+).
(Ⅱ)∵
,
,
∴
,即c
n+1>c
n.
(Ⅲ)∵
,
∴S
n=b
1+b
2++b
n=t
3+t
7++t
4n-1,
當(dāng)t=1時(shí),S
n=n,
;
當(dāng)t>0且t≠1時(shí),
,
.
綜上得,
分析:(Ⅰ)先利用條件求得a
1+a
2++a
n-1+a
n=n(2n+1)和a
1+a
2++a
n-1=(n-1)(2n-1),兩式作差就可求出數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式(注意檢驗(yàn)n=1是否成立);
(Ⅱ)利用 (Ⅰ)求得的數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式代入即可求出c
n+1-c
n再利用函數(shù)的單調(diào)性就可判斷出c
n+1-c
n(n∈N
*)的符號(hào);
(Ⅲ)利用 (Ⅰ)求得的數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式代入即可求出數(shù)列{b
n}的通項(xiàng)公式,再對(duì)等比數(shù)列{b
n}分公比等于1和不等于1兩種情況分別求和即可找到
的值;
點(diǎn)評(píng):本題在利用新定義的條件下考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式,還有利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值的符號(hào).是一道綜合性很強(qiáng)的好題.