Question

2．某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本C（x）=1000+x²（萬元），已知產(chǎn)品單價P（萬元）與產(chǎn)品件數(shù)x滿足：P²=$\frac{k}{x}$，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元．
（1）設產(chǎn)量為x件時，總利潤為L（x）（萬元），求L（x）的解析式；
（2）產(chǎn)量x定為多少時總利潤L（x）（萬元）最大？并求最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可求出k=250000，進而得出總利潤為L（x）為總賣價減去總成本；
（2）根據(jù)利潤表達式，求出導函數(shù)，利用導函數(shù)得出函數(shù)的極值，進而求出函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）由產(chǎn)品單價P（萬元）與產(chǎn)品件數(shù)x滿足：${P^2}=\frac{k}{x}$，
生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，得${50^2}=\frac{k}{100}$，
∴k=250000…（2分）
即${P^2}=\frac{250000}{x}$$⇒P=\frac{500}{{\sqrt{x}}}$．$L（x）=xP-（1000+{x^2}）=500\sqrt{x}-1000-{x^2}$
（x∈（0，+∞）且x∈N^*）．…（6分）
（2）由$L（x）=500\sqrt{x}-1000-{x^2}$得$L'（x）=500•\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-2x$．
令L'（x）=0即${（\sqrt{x}）^3}=125$，
∴x=25…（9分）
當x∈（0，25）時，L'（x）＞0，L（x）單調遞增；
當x∈（25，+∞）時，L'（x）＜0，L（x）單調遞減；
因此當x=25時，L（x）取得最大值，且最大值為L（25）=2500-1000-625=875（萬元）
故產(chǎn)量x定為25件時，總利潤L（x）（萬元）最大，最大值為875萬元．   …（13分）

點評 考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的最值和實際應用．難點是正確找出等量關系，列出方程．