Question

3．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥1\\ x+y≥1\\ 2x-y≤4\end{array}\right.$，則$z=\frac{{{y^2}+\frac{1}{3}xy+{x^2}}}{x^2}$的最大值與最小值的比值 為（　　）

• A． $\frac{12}{7}$
• B． $\frac{77}{75}$
• C． $\frac{95}{36}$
• D． $\frac{125}{77}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合求出$\frac{y}{x}$的范圍，然后利用配方法求出$z=\frac{{{y^2}+\frac{1}{3}xy+{x^2}}}{x^2}$的最大值與最小值得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥1\\ x+y≥1\\ 2x-y≤4\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{2x-y=4}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{5}{3}，-\frac{2}{3}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=1}\\{2x-y=4}\end{array}\right.$，得B（3，2）．
∴$\frac{y}{x}∈$（$-\frac{2}{5}，\frac{2}{3}$），
則$z=\frac{{{y^2}+\frac{1}{3}xy+{x^2}}}{x^2}$=$（\frac{y}{x}）^{2}+\frac{1}{3}（\frac{y}{x}）+1$=$（\frac{y}{x}+\frac{1}{6}）^{2}+\frac{35}{36}$．
∴當(dāng)$\frac{y}{x}=-\frac{1}{6}$時(shí)，${z}_{min}=\frac{35}{36}$，當(dāng)$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$時(shí)，${z}_{max}=\frac{60}{36}$．
∴$z=\frac{{{y^2}+\frac{1}{3}xy+{x^2}}}{x^2}$的最大值與最小值的比值為$\frac{60}{35}=\frac{12}{7}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．