已知過坐標原點O的兩條互相垂直的直線與拋物線y=ax2（a＞）分別相交于A、B兩點．
（1）求弦AB的中點M的軌跡方程；
（2）求△OAB面積的最小值．
考點：拋物線的簡單性質
專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）設直線OA的方程為y=kx（k≠0），與拋物線聯(lián)立即可解出用k表示的A點的坐標，再由條互相垂直的弦OA、OB這一關系，兩直線過同一點原點，斜率互為負倒數(shù)的關系得出B的坐標．M是AB的中點，故可由中點坐標公式得到點M的以k為參數(shù)的參數(shù)方程，消去參數(shù)k，即可得到所求的點M的軌跡方程．
（2）△OAB面積為
1
2
|OA||OB|=
1
2a2
(k2+k4)(
1
k2
+
1
k4
)
=
1
2a2
2+k2+
1
k2
≥
1
a2
，即可得出結論．
解答： 解：（1）∵依題意可知直線OA的斜率存在且不為0
∴設直線OA的方程為y=kx（k≠0）
∴聯(lián)立方程
y=kx
y=ax2
，解得xA=
k
a
，yA=
k2
a

以-
1
k
代上式中的k，解方程組
y=-
1
k
x
y=ax2
，解得xB=-
1
ka
，yB=
1
k2a

設AB中點M（x，y），則由中點坐標公式，得x=
1
2a
（k-
1
k
），y=
1
2a
（k2+
1
k2
）
消去參數(shù)k，得2a2x2=ay-1，即為M點軌跡的普通方程；
（2）△OAB面積為
1
2
|OA||OB|=
1
2a2
(k2+k4)(
1
k2
+
1
k4
)
=
1
2a2
2+k2+
1
k2
≥
1
a2
，k=±1時取等號，
∴△OAB面積的最小值為
1
a2
．
點評：本題考查了拋物線的方程及其性質、軌跡方程、基本不等式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）滿足，f（-x）=f（
1
x
），則稱f（x）為“負倒”變換函數(shù)，給出下列函數(shù)：
①f（x）=x-
1
x
；②f（x）=x+
1
x
：③f（x）=x2-
1
x2
；④f（x）=
x，x＞0
-
1
x
，x＜0

其中所有屬于“負倒”變換函數(shù)的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=
x-1，x≥0
1-x，x＜0
的值域是（　�。�
A、R
B、[0，+∞）
C、[-1，+∞）
D、（-1，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px的焦點F（2，0）．
（1）求拋物線方程；
（2）若拋物線的弦AB，M（5，2）為中點，求直線AB的方程及|AB|的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a2=2，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的前n項和Sn=（　　）
A、
n2
4
+
7n
4
B、
n2
2
+
3n
2
C、
n2
4
+
3n
4
D、
n2
2
+
n
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線 l過點（1，-1），且在兩坐標軸上的截距之和為
3
2
，則直線l的力方程為（　�。�
A、2x-y-3=0
B、2x+y-1=0
C、x-2y-3=0
D、2x+y-1=0或x-2y-3=0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設集合A={x|x2-x-2≤0}，B={1，2，3}，那么A∩B=（　�。�
A、{-1，0，1，2，3}
B、{-1，0，3}
C、{1，2，3}
D、{1，2}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求下列各式的植：
（Ⅰ）(
1
4
)
1
2
+2-3×[(-2)3]
2
3
+(
2
-1)0；
（Ⅱ）log327+lg4+lg25+10lg2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=（3-2a）lnx+
2
x
+3ax，a∈R
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a=
3
2
時，對任意的正整數(shù)n，在區(qū)間[
2
3
，4+n+
1
n
]上總有m+2個數(shù)使得f（a1）+f（a2）+f（a3）+…f（an）＜f（an+1）+f（an+2）成立，試問：正整數(shù)m是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．

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