Question

【題目】數(shù)列滿足，，為非零常數(shù).

（1）是否存在實數(shù)，使得數(shù)列成為等差數(shù)列或等比數(shù)列，若存在，找出所有的，及對應(yīng)的通項公式；若不存在，說明理由；

（2）當時，記，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）求數(shù)列的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）存在，， （2）證明見解析 （3）

【解析】

（1）分別假設(shè)存在實數(shù)，使得數(shù)列成為等差數(shù)列、等比數(shù)列，通過等差中項的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)，最后可以判斷出存在實數(shù)，使得數(shù)列成為等比數(shù)列；

（2）由（1）結(jié)合已知，通過定義可以證明出數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）根據(jù)的不同取值，分類討論，通過對遞推公式的恒等變形，構(gòu)造新數(shù)列，最后求出數(shù)列的通項公式.

（1）假設(shè)存在實數(shù)，使得數(shù)列成為等差數(shù)列，，，

，則有，該一元二次方程根的判別式，該方程無實根，故不存在實數(shù)，使得數(shù)列成為等差數(shù)列.

假設(shè)存在實數(shù)，使得數(shù)列成為等比數(shù)列，則有

，，

因為，所以數(shù)列成為等比數(shù)列，存在，，；

（2）時，由（1）可知：，，

，所以數(shù)列是等比數(shù)列；

（3），

當時，由可知：數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故；

當時，，設(shè)，

，

所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，因此，

所以.