Question

【題目】如圖，四棱錐中，，，為中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若平面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析.（2）.

【解析】分析：第一問(wèn)首先在平面內(nèi)尋找的平行線，這個(gè)任務(wù)借助中位線，從而取中點(diǎn)，即為所求，之后應(yīng)用線面平行的判定定理證得結(jié)果；第二問(wèn)利用線面平行將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離，之后用等級(jí)法，借助于三棱錐的體積和三棱錐的體積相等求得對(duì)應(yīng)的高，即點(diǎn)到面的距離.

詳解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)

∵為的中點(diǎn)，∴，且

又∵，且

∴，且，故四邊形為平行四邊形

∴

又平面，平面，

∴平面.

（2）由（1）得平面

故點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離

取的中點(diǎn)，連結(jié)

∵平面，平面，

∴平面平面

又是邊長(zhǎng)為2的正三角形

∴，，且

∵平面平面

∴平面，

∵四邊形是直角梯形，

∴

∵，，，

∴，

∴

記點(diǎn)到平面的距離為，

∵三棱錐的體積

∴.

∴點(diǎn)到平面的距離為.