分析 (1)推導(dǎo)出PB⊥PA,作PO⊥平面ABCD,則垂足O在AB上,過O作OE∥AD,交DC于E,以O(shè)為原點(diǎn),OB為x軸,OE為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明面PAD⊥面PBD.
(2)求出平面PBC的法向量和平面PBD的法向量,利用向量法能求出二面角C-PB-D的余弦值
解答 證明:(1)∵在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形
面PAB⊥底面ABCD,PB=1,且∠PBA=60°,
∴PA=\sqrt{1+4-2×1×2×cos60°}=\sqrt{3},
∴PB2+PA2=AB2,
∴PB⊥PA,
∵面PAB⊥底面ABCD,
∴作PO⊥平面ABCD,則垂足O在AB上,
過O作OE∥AD,交DC于E,
以O(shè)為原點(diǎn),OB為x軸,OE為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
由題意P(0,0,\frac{\sqrt{3}}{2}),A(-\frac{3}{2},0,0),D(-\frac{3}{2},2,0),B(\frac{1}{2},0,0),
\overrightarrow{PA}=(-\frac{3}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2}),\overrightarrow{PB}=(\frac{1}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2}),\overrightarrow{PD}=(-\frac{3}{2},2,-\frac{\sqrt{3}}{2}),
設(shè)平面PAD的法向量\overrightarrow{n}=(x,y,z),
則\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-\frac{3}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-\frac{3}{2}x+2y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.,
取x=\sqrt{3},得\overrightarrow{n}=(\sqrt{3},0,-3),
設(shè)平面PBD的法向量\overrightarrow{m}=(a,b,c),
則\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-\frac{3}{2}a+2b-\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\end{array}\right.,
取a=\sqrt{3},得\overrightarrow{m}=(\sqrt{3},\sqrt{3},1),
∵\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=3+0-3=0,
∴\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n},
∴面PAD⊥面PBD.
解:(2)C(\frac{1}{2},2,0),\overrightarrow{PC}=(\frac{1}{2},2,-\frac{\sqrt{3}}{2}),
設(shè)平面PBC的法向量\overrightarrow{n}=(x1,y1,z1),
則\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}{x}_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PC}=\frac{1}{2}{x}_{1}+2{y}_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\end{array}\right.,
取{x}_{1}=\sqrt{3},得\overrightarrow{p}=(\sqrt{3},0,1),
又平面PBD的法向量\overrightarrow{m}=(\sqrt{3},\sqrt{3},1),
設(shè)二面角C-PB-D的平面角為θ,
則cosθ=\frac{|\overrightarrow{p}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{m}|}=\frac{4}{\sqrt{4}•\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}.
∴二面角C-PB-D的余弦值為\frac{2\sqrt{7}}{7}.
點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | \frac{\sqrt{3}}{2} | B. | \sqrt{3} | C. | 2\sqrt{3} | D. | 4\sqrt{3} |
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A. | \frac{1}{140} | B. | \frac{1}{105} | C. | \frac{1}{60} | D. | \frac{1}{42} |
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