Processing math: 0%
7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,面PAB⊥底面ABCD,PB=1,且∠PBA=60°
(1)求證:面PAD⊥面PBD;
(2)求二面角C-PB-D的余弦值.

分析 (1)推導(dǎo)出PB⊥PA,作PO⊥平面ABCD,則垂足O在AB上,過O作OE∥AD,交DC于E,以O(shè)為原點(diǎn),OB為x軸,OE為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明面PAD⊥面PBD.
(2)求出平面PBC的法向量和平面PBD的法向量,利用向量法能求出二面角C-PB-D的余弦值

解答 證明:(1)∵在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形
面PAB⊥底面ABCD,PB=1,且∠PBA=60°,
∴PA=\sqrt{1+4-2×1×2×cos60°}=\sqrt{3},
∴PB2+PA2=AB2
∴PB⊥PA,
∵面PAB⊥底面ABCD,
∴作PO⊥平面ABCD,則垂足O在AB上,
過O作OE∥AD,交DC于E,
以O(shè)為原點(diǎn),OB為x軸,OE為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
由題意P(0,0,\frac{\sqrt{3}}{2}),A(-\frac{3}{2},0,0),D(-\frac{3}{2},2,0),B(\frac{1}{2},0,0),
\overrightarrow{PA}=(-\frac{3}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2}),\overrightarrow{PB}=(\frac{1}{2},0,-\frac{\sqrt{3}}{2}),\overrightarrow{PD}=(-\frac{3}{2},2,-\frac{\sqrt{3}}{2}),
設(shè)平面PAD的法向量\overrightarrow{n}=(x,y,z),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-\frac{3}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-\frac{3}{2}x+2y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.
取x=\sqrt{3},得\overrightarrow{n}=(\sqrt{3},0,-3),
設(shè)平面PBD的法向量\overrightarrow{m}=(a,b,c),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-\frac{3}{2}a+2b-\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\end{array}\right.
取a=\sqrt{3},得\overrightarrow{m}=(\sqrt{3},\sqrt{3},1),
\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=3+0-3=0,
\overrightarrow{m}\overrightarrow{n},
∴面PAD⊥面PBD.
解:(2)C(\frac{1}{2},2,0),\overrightarrow{PC}=(\frac{1}{2},2,-\frac{\sqrt{3}}{2}),
設(shè)平面PBC的法向量\overrightarrow{n}=(x1,y1,z1),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}{x}_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PC}=\frac{1}{2}{x}_{1}+2{y}_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\end{array}\right.,
{x}_{1}=\sqrt{3},得\overrightarrow{p}=(\sqrt{3},0,1),
又平面PBD的法向量\overrightarrow{m}=(\sqrt{3},\sqrt{3},1),
設(shè)二面角C-PB-D的平面角為θ,
則cosθ=\frac{|\overrightarrow{p}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{m}|}=\frac{4}{\sqrt{4}•\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}
∴二面角C-PB-D的余弦值為\frac{2\sqrt{7}}{7}

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知\overrightarrow{a}\overrightarrow是兩個不共線的向量,且\overrightarrow{a}=(cosα,sinα),\overrightarrow=(cosβ,sinβ).
(1)求證:\overrightarrow{a}+\overrightarrow\overrightarrow{a}-\overrightarrow垂直;
(2)若α∈(-\frac{π}{4},\frac{π}{4}),β=\frac{π}{4},且|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{\frac{16}{5}},求sinα.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.已知直線x-y+\sqrt{2}=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長為(  )
A.\frac{\sqrt{3}}{2}B.\sqrt{3}C.2\sqrt{3}D.4\sqrt{3}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

20.若二面角內(nèi)一點(diǎn)到二面角的兩個面的距離分別為a和\sqrt{2}a,到棱的距離為2a,則此二面角的度數(shù)是75°或165°.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足Sn>1,6Sn=(an+1)(an+2).
(1)求a1的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)求證:\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}\frac{1}{6}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|.
(1)求不等式f(x)<2;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+f(x-1)的最小值為a,且m+n=a(m>0,n>0),求\frac{{{m^2}+2}}{m}+\frac{{{n^2}+1}}{n}的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”,它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的,第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為\frac{1}{n}(n≥2),并且相鄰兩行數(shù)之間有一定的關(guān)系,則第7行第4個數(shù)(從左往右數(shù))為( �。�
A.\frac{1}{140}B.\frac{1}{105}C.\frac{1}{60}D.\frac{1}{42}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.若實(shí)數(shù)x滿足不等式|x-3|≥1,則x的取值范圍為x≥4或x≤2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知函數(shù)f(x)=|2a-x|(a∈R).
(1)當(dāng)a=2時,解不等式f(x)>6-|3x-2|;
(2)若對?∈R,f(x)+x>5恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案