Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，面PAB⊥底面ABCD，PB=1，且∠PBA=60°
（1）求證：面PAD⊥面PBD；
（2）求二面角C-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出PB⊥PA，作PO⊥平面ABCD，則垂足O在AB上，過O作OE∥AD，交DC于E，以O為原點，OB為x軸，OE為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明面PAD⊥面PBD．
（2）求出平面PBC的法向量和平面PBD的法向量，利用向量法能求出二面角C-PB-D的余弦值

解答 證明：（1）∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形
面PAB⊥底面ABCD，PB=1，且∠PBA=60°，
∴PA=$\sqrt{1+4-2×1×2×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∴PB²+PA²=AB²，
∴PB⊥PA，
∵面PAB⊥底面ABCD，
∴作PO⊥平面ABCD，則垂足O在AB上，
過O作OE∥AD，交DC于E，
以O為原點，OB為x軸，OE為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
由題意P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A（-$\frac{3}{2}$，0，0），D（-$\frac{3}{2}$，2，0），B（$\frac{1}{2}$，0，0），
$\overrightarrow{PA}$=（-$\frac{3}{2}$，0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{2}，0，-\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（-$\frac{3}{2}$，2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-\frac{3}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-\frac{3}{2}x+2y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，-3），
設平面PBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-\frac{3}{2}a+2b-\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\end{array}\right.$，
取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
∵$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=3+0-3=0，
∴$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∴面PAD⊥面PBD．
解：（2）C（$\frac{1}{2}$，2，0），$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{1}{2}，2$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}{x}_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{PC}=\frac{1}{2}{x}_{1}+2{y}_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取${x}_{1}=\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{p}$=（$\sqrt{3}$，0，1），
又平面PBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
設二面角C-PB-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{p}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4}•\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角C-PB-D的余弦值為$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．