Question

17．已知函數(shù)f（x）=|2a-x|（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）＞6-|3x-2|；
（2）若對(duì)?∈R，f（x）+x＞5恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）＞6-|3x-2|可化為|x-4|+|3x-2|＞6，分類(lèi)討論，即可解不等式；
（2）若對(duì)?∈R，f（x）+x＞5恒成立，求出左邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）＞6-|3x-2|可化為|x-4|+|3x-2|＞6．
x＜$\frac{2}{3}$時(shí)，不等式為4-x+2-3x＞6，即x＜0，∴x＜0；
$\frac{2}{3}$≤x≤4時(shí)，不等式為4-x+3x-2＞6，∴x＞2，∴2＜x≤4；
x＞4時(shí)，不等式為x-4+3x-2＞6，即x＞3，∴x＞4，
綜上所述，不等式的解集為{x|x＜0或x＞2}；
（2）令g（x）=f（x）+x=|x-2a|+x=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2a，x≥2a}\\{2a，x＜2a}\end{array}\right.$，
∴g（x）的最小值為2a，
由題意，2a＞5，∴a＞2.5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．