Question

5．若f（n）為n²+1（n∈N^*）的各位數(shù)字之和，如14²+1=197，1+9+7=17，則f（14）=17，記f₁（n）=f（n），f₂=f（f₁（n））…f_k+1=f_k（f（n）），k∈N^*則f₂₀₁₆（8）=（　�。�

• A． 3
• B． 5
• C． 8
• D． 11

Answer 1

分析 根據(jù)題中的對應(yīng)法則，算出f₁（8）、f₂（8）、f₃（8）、f₄（8）的值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律f_k+3（8）=f_k（8）對任意k∈N^*成立，由此即可得到答案．

解答 解：∵8²+1=65，∴f₁（8）=f（8）=6+5=11，
同理，由11²+1=122得f₂（8）=1+2+2=5；由5²+1=26，得f₃（8）=2+6=8，
可得f₄（8）=6+5=11=f₁（8），f₅（8）=f₂（8），…，
∴f_k+3（8）=f_k（8）對任意k∈N^*成立
又∵2016=3×672，
∴f₂₀₁₆（8）=f₂₀₁₃（8）=f₂₀₀₀（8）=…=f₃（8）=8．
故選：C．

點評 本題給出函數(shù)f_k（x）的對應(yīng)法則，求f₂₀₁₆（8）的值．著重考查了函數(shù)的定義、數(shù)列的遞推公式和進行簡單的合情推理等知識，屬于基礎(chǔ)題．