Question

10．己知對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x，不等式x²-6|x|+49≥a|x|恒成立．
（1）求a的取值范圍；
（2）設(shè)f（x）=|x|+|x+a|（x∈R）的最小值不小于2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分離參數(shù)，求最值，即可求a的取值范圍；
（2）f（x）=|x|+|x+a|≥|a|．利用f（x）=|x|+|x+a|（x∈R）的最小值不小于2，可得|a|≥2，結(jié)合（1），即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）∵對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x，不等式x²-6|x|+49≥a|x|恒成立，
∴a≤|x|+$\frac{49}{|x|}$-6，
∵|x|+$\frac{49}{|x|}$≥14（當(dāng)且僅當(dāng)|x|=7時(shí)取等號(hào)），
∴a≤8；
（2）f（x）=|x|+|x+a|≥|a|．
∵f（x）=|x|+|x+a|（x∈R）的最小值不小于2，
∴|a|≥2，
∵a≤8，
∴2≤a≤8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查絕對(duì)值三角不等式，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．