Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x-2|
（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；
（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且對于?x∈R，f（x-m）-f（-x）≤$\frac{4}{a}+\frac{1}$恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對值不等式的解法，利用分類討論進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）利用1的代換，結(jié)合基本不等式先求出$\frac{4}{a}+\frac{1}$的最小值是9，然后利用絕對值不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）+f（2x+1）=|x-2|+|2x-1|=\left\{{\begin{array}{l}{3-3x，x＜\frac{1}{2}}\\{x+1，\frac{1}{2}≤x≤2}\\{3x-3，x＞2}\end{array}}\right.$，（2分）
當(dāng)$x＜\frac{1}{2}$時，由3-3x≥6，解得x≤-1；
當(dāng)$\frac{1}{2}≤x≤2$時，x+1≥6不成立；
當(dāng)x＞2時，由3x-3≥6，解得x≥3．
所以不等式f（x）≥6的解集為（-∞，-1]∪[3，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），
∴$\frac{4}{a}+\frac{1}=（a+b）（\frac{4}{a}+\frac{1}）=5+\frac{4b}{a}+\frac{a}≥5+2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}=9$（6分）
∴對于?x∈R，$f（x-m）-f（-x）≤\frac{4}{a}+\frac{1}$恒成立等價于：對?x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，
即[|x-2-m|-|-x-2|]_max≤9（7分）
∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|
∴-9≤m+4≤9，（9分）
∴-13≤m≤5（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，以及不等式恒成立問題，利用1的代換結(jié)合基本不等式，將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．