Question

1．過點P（4，6）引直線l分別交x，y軸正半軸于A、B兩點，當△OAB面積最小時，直線l的方程是3x+2y-24=0．

Answer 1

分析 設A（a，0），B（0，b），a，b＞0，則直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，點P（4，6）在直線l上，可得$\frac{4}{a}+\frac{6}$=1，利用基本不等式的性質與三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：設A（a，0），B（0，b），a，b＞0，則直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，
∵點P（4，6）在直線l上，∴$\frac{4}{a}+\frac{6}$=1，
∴1$≥2\sqrt{\frac{4}{a}•\frac{6}}$，化為：$\frac{1}{2}ab$≥48，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}ab$≥48，當且僅當$\frac{4}{a}=\frac{6}$，$\frac{4}{a}+\frac{6}$=1時，解得a=8，b=12取等號．
∴當△OAB面積最小時，直線l的方程是$\frac{x}{8}+\frac{y}{12}$=1，即3x+2y-24=0．
故答案為：3x+2y-24=0．

點評 本題考查了基本不等式的性質與三角形面積計算公式、截距式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．