已知正項數(shù)列的首項，前項和滿足．
（Ⅰ）求證：為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）記數(shù)列的前項和為，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

解析試題分析：（Ⅰ）求證為等差數(shù)列，只需證等于常數(shù)，由，而，代入整理可得為等差數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最大值，而的前項和為可用拆項相消法求得的最大值，從而解一元二次不等式得實數(shù)的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）證明：當時，，又，，因為，，， 即，，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．
由此可得，由，當時，也適合，所以 ；
（Ⅱ）因為，
所以， ， ，對任意的，不等式恒成立，，解得，
所以對任意的，不等式恒成立，實數(shù)的取值范圍．
考點：1、等差數(shù)列的證明，2、與的關(guān)系，3、求數(shù)列的通項公式，4、數(shù)列求和，5、解一元二次不等式．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列，是其前項和.
（1）若，，求數(shù)列的通項公式；
（2）記，，且、、成等比數(shù)列，證明:.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知為等差數(shù)列，且,為的前項和.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及；
（II）設(shè)，求數(shù)列的通項公式及其前項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

數(shù)列的前n項和為，和滿足等式
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅲ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和；
（Ⅳ）設(shè)，求證：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在等差數(shù)列{an}中，為其前n項和，且
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知各項均為正數(shù)的兩個無窮數(shù)列、滿足．
（Ⅰ）當數(shù)列是常數(shù)列（各項都相等的數(shù)列），且時，求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)、都是公差不為0的等差數(shù)列，求證：數(shù)列有無窮多個，而數(shù)列惟一確定；
（Ⅲ）設(shè)，，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列是首項為1，公比為的等比
數(shù)列．
（1）若，，求數(shù)列的前項和；
（2）若存在正整數(shù)，使得．試比較與的大小，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列{an}的通項公式為，從數(shù)列{an}中依次取出a1，a2，a4，a8，…，，…，構(gòu)成一個新的數(shù)列{bn}，求{bn}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（1）已知數(shù)列的前項和為,,,求
（2）已知等差數(shù)列的前項和為,求數(shù)列的前2012項和

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