Question

14．已知定義域?yàn)锳的函數(shù)f（x），若對(duì)任意的x₁，x₂∈A，都有f（x₁+x₂）-f（x₁）≤f（x₂），則稱函數(shù)f（x）為“定義域上的M函數(shù)”，給出以下五個(gè)函數(shù)：
（1）f（x）=2x+3，x∈R；（2）$f（x）={x^2}，x∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$；（3）$f（x）={x^2}+1，x∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$；（4）$f（x）=sinx，x∈[0，\frac{π}{2}]$；（5）f（x）=log₂x，x∈[2，+∞）．其中是“定義域上的M函數(shù)”的
有4個(gè)．

Answer 1

分析 根據(jù)“定義域上的M函數(shù)”的定義，逐一分析給定的函數(shù)是否滿足定義，即可得到答案．

解答 解：若對(duì)任意的x₁，x₂∈A，都有f（x₁+x₂）-f（x₁）≤f（x₂），
即若對(duì)任意的x₁，x₂∈A，都有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），
（1）當(dāng)f（x）=2x+3，x∈R時(shí)；
f（x₁+x₂）=2（x₁+x₂）+3
f（x₁）+f（x₂）=2（x₁）+3+2（x₁）+3=2（x₁+x₂）+6，
f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂）恒成立，滿足定義；
（2）當(dāng)$f（x）={x^2}，x∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$時(shí)；
f（x₁+x₂）=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$=x₁²+x₂²+2x₁x₂，
f（x₁）+f（x₂）=x₁²+x₂²，
當(dāng)x₁，x₂異號(hào)時(shí)，f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂）不成立，不滿足定義；
（3）當(dāng)$f（x）={x^2}+1，x∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$時(shí)；
f（x₁+x₂）=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$+1=x₁²+x₂²+2x₁x₂+1，
f（x₁）+f（x₂）=x₁²+x₂²+2，
f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂）恒成立，滿足定義；
（4）當(dāng)$f（x）=sinx，x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)；
f（x₁+x₂）=sin（x₁+x₂）=sinx₁cosx₂+cosx₁sinx₂，
f（x₁）+f（x₂）=sinx₁+sinx₂，
f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂）恒成立，滿足定義；
（5）當(dāng)f（x）=log₂x，x∈[2，+∞）時(shí)．
x₁+x₂≤x₁x₂恒成立，
f（x₁+x₂）=log₂（x₁+x₂），
f（x₁）+f（x₂）=log₂x₁+log₂x₂=log₂（x₁x₂），
f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂）恒成立，滿足定義；
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了“定義域上的M函數(shù)”的定義，正確理解新定義，是解答的關(guān)鍵．