Question

19．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，且f（x）在R上有三個(gè)零點(diǎn)，1是其中一個(gè)零點(diǎn)．
（1）求f（3）的取值范圍；
（2）若直線l：y=x-1在曲線C：x=f（x）的上方部分所對(duì)應(yīng)的x的集合（-∞，1），試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將b的值代入f（x）中，將x=1代入得到a，c的關(guān)系，求出導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)根即函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷出極值點(diǎn)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，列出不等式求出f（3）的范圍即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（x-1）[x²+（1-a）x+2-a]＞0的解集是（-∞，1），根據(jù)x的范圍得出矛盾，得到a的值不存在．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=-3x²+2ax+b，
∵f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取到極小值，即f'（0）=0
∴b=0．
∴f（x）=-x³+ax²+c
∵1是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，即f（1）=0，
∴c=1-a，
∵f'（x）=-3x²+2ax=0的兩個(gè)根分別為x₁=0，x₂=$\frac{2a}{3}$，
又∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，且函數(shù)f（x）在R上有三個(gè)零點(diǎn)，
∴x₂=$\frac{2a}{3}$＞1，即a＞$\frac{3}{2}$，
∴f（3）=8a-26＞-14；
（2）由直線l：y=x-1在曲線C：y=f（x）的上方的部分對(duì)應(yīng)的x的集合為（-∞，1），
得x-1＞-x³+ax²+1-a，即（x-1）[x²+（1-a）x+2-a]＞0的解集是（-∞，1），
∵x＜1時(shí)，x-1＜0，
而x＜1時(shí)，x²+（1-a）x+2-a必存在正值，
故（x-1）[x²+（1-a）x+2-a]＞0的解集不可能是（-∞，1），
故a無(wú)解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．