Question

4．已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為點(diǎn)F，過焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB的面積為$\sqrt{6}$，則|AB|=（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 設(shè)出直線方程，求出A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差，利用△AOB的面積．求出直線的斜率，然后求解|AB|，

解答 解：拋物線y²=4x焦點(diǎn)為F（1，0），
設(shè)過焦點(diǎn)F的直線為：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$⇒可得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，
y_A+y_B=$\frac{4}{k}$，y_Ay_B=-4，|y_A-y_B|=$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+16}$
△AOB的面積為$\sqrt{6}$，可得：$\frac{1}{2}$|y_A-y_B|=$\sqrt{6}$，
$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+16}=2\sqrt{6}$，解得k=$±\sqrt{2}$
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•，|y_A-y_B|=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}×2\sqrt{6}=6$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義，考查三角形的面積的計(jì)算，確定拋物線的弦長是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題，