Question

6．已知函數(shù)f（x）=3^x+λ•3^-x（λ∈R）
（1）當(dāng)λ=-4時(shí)，求解方程f（x）=3；
（2）根據(jù)λ的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)λ=-4時(shí)，令t=3^x＞0，則原方程可化為t²-3t-4=0，求得t的值，可得x的值．
（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，分當(dāng)λ=1、當(dāng)λ=-1、當(dāng)|λ|≠1三種情況，分別根據(jù)奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，可得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)λ=-4時(shí)，由f（x）=3，得3^x-4•3^-x=3．
 令t=3^x＞0，則原方程可化為t²-3t-4=0，解得t=4，或t=-1（舍去），
所以，x=log₃4．
（2）函數(shù) 的定義域?yàn)镽，當(dāng)λ=1時(shí)，f（x）=3^x+3^-x，f（-x）=f（x），
函數(shù)為偶函數(shù)；
當(dāng)λ=-1時(shí)，f（x）=3^x-3^-x，f（-x）=-f（x），函數(shù)為奇函數(shù)；
當(dāng)|λ|≠1時(shí)，$f（1）=3+\frac{λ}{3}，f（-1）=\frac{1}{3}+3λ$，
此時(shí)f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1），所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查指數(shù)方程的解法，函數(shù)的奇偶性的判斷，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．