【題目】已知橢圓：，圓：，一動圓在軸右側與軸相切，同時與圓相外切，此動圓的圓心軌跡為曲線，橢圓與曲線有相同的焦點.

（1）求曲線的方程；

（2）設曲線與橢圓相交于第一象限點，且，求橢圓的標準方程；

（3）在（2）的條件下，如果橢圓的左頂點為，過且垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點，直線，與直線：分別交于，兩點，證明：四邊形的對角線的交點是橢圓的右頂點.

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）設動圓圓心的坐標為，，計算化簡得到答案.

（2）計算，則，得到答案.

（3）計算，，，直線的方程為，令，得，得到答案.

（1）設動圓圓心的坐標為，因為動圓在軸右側與軸相切，同時與圓相外切，所以，所以，化簡整理得，

曲線的方程為.

（2）依題意，，，可得，故點坐標為，

橢圓的另一焦點為，

由兩點間的距離可得，

又由橢圓的定義得，.

所以，所以橢圓的標準方程為.

（3）由（2）知，，直線的方程為，

根據(jù)橢圓的對稱性，當直線軸時，四邊形是等腰梯形，對角線的交點在軸上，此時直線的方程為，

由，，不妨取，，

故直線的方程為，將代入得，

所以直線的方程為，令，得，

即直線與軸的交點為，此時恰好為橢圓的右頂點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，直線交橢圓于兩點，為坐標原點.

（1）若直線過橢圓的右焦點，求的面積；

（2）若，試問橢圓上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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【題目】已知是拋物線的焦點，點是拋物線上一點，且，直線過定點（4，0），與拋物線交于兩點，點在直線上的射影是.

（1）求的值；

（2）若，且，求直線的方程.

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【題目】已知橢圓：的離心率為，左右頂點分別為，，右焦點為，為橢圓上異于，的動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與軸交于點，過點作的平行線交軸與點，試探究是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過定點.

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【題目】如圖，在棱長為12的正方體中，已知E，F分別為棱AB，的中點，若過點，E，F的平面截正方體所得的截面為一個多邊形，則該多邊形的周長為________，該多邊形與平面，ABCD的交線所成角的余弦值為________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且四個頂點構成的四邊形的面積是．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經過點，且不垂直于軸，直線與橢圓交于，兩點，為的中點，直線與橢圓交于，兩點（是坐標原點），求四邊形的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面四邊形是直角梯形，底面，，，，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，判斷在上的單調性并加以證明；

（2）若，，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】紋樣是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，它既代表著中華民族的悠久歷史、社會的發(fā)展進步，也是世界文化藝術寶庫中的巨大財富．小楠從小就對紋樣藝術有濃厚的興趣．收集了如下9枚紋樣微章，其中4枚鳳紋徽章，5枚龍紋微章．小楠從9枚徽章中任取3枚，則其中至少有一枚鳳紋徽章的概率為（ ）．

A.B.C.D.

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