【題目】如圖，四棱錐中，底面四邊形是直角梯形，底面，，，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析，（2）.

【解析】

（1）首先利用條件證明，然后結(jié)合即可證明平面

（2）由平面可得是直線與平面所成的角，然后算出，然后以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸軸軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，算出平面的法向量即可.

（1）證明：因?yàn)?/span>，，所以.

又因?yàn)?/span>，所以是等腰直角三角形，

所以，.

又因?yàn)?/span>，，

所以，即.

因?yàn)?/span>底面，平面，所以.

又，所以平面.

（2）在中， ，，所以.

由（1）知，平面，

所以是直線與平面所成的角，則.

在中， ，

所以.

以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸軸軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，

所以.

設(shè)平面法向量為，

則 即

令，得.所以.

由平面，則為平面的一個(gè)法向量.

所以.

故所求二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，平面α∩平面β＝l，A，C是α內(nèi)不同的兩點(diǎn)，B，D是β內(nèi)不同的兩點(diǎn)，且A，B，C，D直線l，M，N分別是線段AB，CD的中點(diǎn)．下列判斷正確的是（　�。�

A.若ABCD，則MNl

B.若M，N重合，則ACl

C.若AB與CD相交，且ACl，則BD可以與l相交

D.若AB與CD是異面直線，則MN不可能與l平行

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為進(jìn)一步深化“平安校園”創(chuàng)建活動(dòng)，加強(qiáng)校園安全教育宣傳，某高中對該校學(xué)生進(jìn)行了安全教育知識(shí)測試（滿分100分），并從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的成績，經(jīng)過數(shù)據(jù)分析得到如圖1所示的頻數(shù)分布表，并繪制了得分在以及的莖葉圖，分別如圖23所示．

成績

頻數(shù)

5

30

40

50

45

20

10

圖1

（1）求這200名同學(xué)得分的平均數(shù)；（同組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值作代表）

（2）如果變量滿足且，則稱變量“近似滿足正態(tài)分布的概率分布”．經(jīng)計(jì)算知樣本方差為210，現(xiàn)在取和分別為樣本平均數(shù)和方差，以樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，如果該校學(xué)生的得分“近似滿足正態(tài)分布的概率分布”，則認(rèn)為該校的校園安全教育是成功的，否則視為不成功．試判斷該校的安全教育是否成功，并說明理由．

（3）學(xué)校決定對90分及以上的同學(xué)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，為了體現(xiàn)趣味性，采用抽獎(jiǎng)的方式進(jìn)行，其中得分不低于94的同學(xué)有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，低于94的同學(xué)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金及對應(yīng)的概率分別為：

獎(jiǎng)金

50

100

概率

現(xiàn)在從不低于90同學(xué)中隨機(jī)選一名同學(xué)，記其獲獎(jiǎng)金額為，以樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

（參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，圓：，一動(dòng)圓在軸右側(cè)與軸相切，同時(shí)與圓相外切，此動(dòng)圓的圓心軌跡為曲線，橢圓與曲線有相同的焦點(diǎn).

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)曲線與橢圓相交于第一象限點(diǎn)，且，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）在（2）的條件下，如果橢圓的左頂點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，與直線：分別交于，兩點(diǎn)，證明：四邊形的對角線的交點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn).

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，，，側(cè)面SAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，且平面平面ABCD，M，N分別為AD，SC的中點(diǎn)．

（1）求證：平面SAB．

（2）求直線BN與平面SAB所成角的余弦值．

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【題目】已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，當(dāng)時(shí)，的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由.

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【題目】已知過拋物線y2＝4x焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），若3，則直線l的斜率為（ ）

A.2B.C.D.

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【題目】隨著疫情的有效控制，人們的生產(chǎn)生活逐漸向正常秩序恢復(fù)，位于我區(qū)的某著名賞花園區(qū)重新開放.據(jù)統(tǒng)計(jì)硏究，近期每天賞花的人數(shù)大致符合以下數(shù)學(xué)模型.以表示第個(gè)時(shí)刻進(jìn)入園區(qū)的人數(shù)，以表示第個(gè)時(shí)刻離開園區(qū)的人數(shù)，設(shè)定每15分鐘為一個(gè)計(jì)算單位，上午8點(diǎn)15分作為第1個(gè)計(jì)算人數(shù)單位，即點(diǎn)30分作為第2個(gè)計(jì)算單位，即：依次類推，把一天內(nèi)從上午8點(diǎn)到下午5點(diǎn)分成36個(gè)計(jì)算單位（最后結(jié)果四舍五入，精確到整數(shù)）

（1）試分別計(jì)算當(dāng)天12：30至13：30這一小時(shí)內(nèi)，進(jìn)入園區(qū)的人數(shù)和離開園區(qū)的游客人數(shù).

（2）請問，從12點(diǎn)（即）開始，園區(qū)內(nèi)總?cè)藬?shù)何時(shí)達(dá)到最多？并說明理由

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【題目】2020年初，一場新冠肺炎疫情突如其來，在黨中央強(qiáng)有力的領(lǐng)導(dǎo)下，全國各地的醫(yī)務(wù)工作者迅速馳援湖北，以大無畏的精神沖在了抗擊疫情的第一線，迅速控制住疫情．但國外疫情嚴(yán)峻，輸入性病例逐漸增多，為了鞏固我國的抗疫成果，保護(hù)國家和人民群眾的生命安全，我國三家生物高科技公司各自組成A、B、C三個(gè)科研團(tuán)隊(duì)進(jìn)行加急疫苗研究，其研究方向分別是滅活疫苗、核酸疫苗和全病毒疫苗，根據(jù)這三家的科技實(shí)力和組成的團(tuán)隊(duì)成員，專家預(yù)測這A、B、C三個(gè)團(tuán)隊(duì)未來六個(gè)月中研究出合格疫苗并用于臨床接種的概率分別為，，，且三個(gè)團(tuán)隊(duì)是否研究出合格疫苗相互獨(dú)立．

（1）求六個(gè)月后A，B兩個(gè)團(tuán)隊(duì)恰有一個(gè)研究出合格疫苗并用于臨床接種的概率；

（2）設(shè)六個(gè)月后研究出合格疫苗并用于臨床接種的團(tuán)隊(duì)個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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