Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，它在點(diǎn)處的切線(xiàn)為直線(xiàn)．

（Ⅰ）求直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）對(duì)曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程兩邊乘以化為直角坐標(biāo)方程.利用導(dǎo)數(shù)可求得曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程.（2）設(shè)出橢圓的參數(shù)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式和三角恒等變換的知識(shí)，可求得到直線(xiàn)距離的取值范圍.

試題解析：

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

解：（Ⅰ）∵曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，

∴，∴曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，

又的直角坐標(biāo)為（2,2），

∵，∴.

∴曲線(xiàn)在點(diǎn)（2,2）處的切線(xiàn)方程為，

即直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.

（Ⅱ）為橢圓上一點(diǎn)，設(shè)，

則到直線(xiàn)的距離，

當(dāng)時(shí)，有最小值0.

當(dāng)時(shí)，有最大值.

∴到直線(xiàn)的距離的取值范圍為[0, ].