Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（I ）求曲線(xiàn)C₁的普通方程；
（II）極坐標(biāo)方程為2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=3$\sqrt{3}$的直線(xiàn)l與C₁交P，Q兩點(diǎn)，求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （I ）根據(jù)sin²θ+cos²θ=1消去直線(xiàn)曲線(xiàn)C₁的參數(shù)可得普通方程；
（II）將2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=3$\sqrt{3}$的直線(xiàn)l化為普通方程，利用截得的弦長(zhǎng)公式L=$2\sqrt{{r}^{2}-fba5at3^{2}}$，可得線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)．

解答 解：（I ）曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
可得cosθ=$\frac{x-1}{2}$，sinθ=$\frac{y}{2}$，
∵sin²θ+cos²θ=1
可得：（x-1）²+y²=4
即曲線(xiàn)C₁的普通方程為：（x-1）²+y²=4．
（II）將2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=3$\sqrt{3}$的直線(xiàn)l化為普通方程
可得：2ρsinθcos$\frac{π}{3}$+2ρcosθsin$\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$，即y+$\sqrt{3}$x=3$\sqrt{3}$．
∵直線(xiàn)l與C₁交P，Q兩點(diǎn)，
曲線(xiàn)C₁的圓心（1，0），半徑r=2．
圓心到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}-3\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}}$=$\sqrt{3}$
∴線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)=$2\sqrt{{r}^{2}-ko88gwg^{2}}$=2$\sqrt{4-3}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．