Question

13．若存在兩個正實(shí)數(shù)x，y，使得等式${x^3}{e^{\frac{y}{x}}}-a{y^3}=0$成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． $[\frac{e^2}{8}，+∞）$
• B． $（0，\frac{e^3}{27}]$
• C． $[\frac{e^3}{27}，+∞）$
• D． $（0，\frac{e^2}{8}]$

Answer 1

分析 分離參數(shù)，利用換元法轉(zhuǎn)化為方程有解，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解即可

解答 解：∵存在兩個正實(shí)數(shù)x，y，使得等式${x^3}{e^{\frac{y}{x}}}-a{y^3}=0$成立，
∴a=$\frac{{e}^{\frac{y}{x}}}{（\frac{y}{x}）^{3}}$，
設(shè)$\frac{y}{x}$=t，t＞0，則a=$\frac{{e}^{t}}{{t}^{3}}$，
設(shè)f（t）=$\frac{{e}^{t}}{{t}^{3}}$，
則f′（t）=$\frac{{e}^{t}（t-3）}{{t}^{4}}$，
當(dāng)t＞3時，f′（t）＞0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜t＜3時，f′（t）＜0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減，
∴f（t）_min=f（3）=$\frac{{e}^{3}}{27}$，
∴a≥$\frac{{e}^{3}}{27}$
故選：C

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．