Question

【題目】函數,其中.

(1)試討論函數的單調性;

(2)已知當 (其中是自然對數的底數)時,在上至少存在一點,使成立,求的取值范圍;

(3)求證:當時,對任意,有.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) (3)見解析

【解析】試題分析：

本題考查利用導數研究函數的單調性、極值最值，導數的綜合應用．(1)易知的定義域為，通過討論導數的正負解答．

(2)在上至少存在一點，使成立，等價于當時， ．通過單調性求出最大值，然后解答．(3)構造輔助函數，并求導得=，然后利用單調性解答．

試題解析：

(1)易知的定義域為．

∵，

∴=．

由得: 或．

∵，

∴．

①當時，

則單調遞增；當單調遞減； 單調遞增．

②當時，

則當單調遞增；當單調遞減；當單調遞增．

③當時， 單調遞增．

綜上，當時， 在和上單調遞增，在上單調遞減；

當時， 在和上單調遞增，在上單調遞減；

當時， 在上單調遞增．

(2)在上至少存在一點，使成立，等價于當時， ．

∵，

∴．

由(1)知， 時， 單調遞增，當時， 單調遞減．

∴當時， ．

∴

解得．滿足．

所以實數的取值范圍是．

(3)當時， ．

設，

則．

故當時， 單調遞減．

∴對任意，都有成立，

∴．

即．

又，

∴．