Question

11．已知集合A={x|x²-6x+8≤0}，f（x）=a^x（a＞0且a≠1），x∈A．
①若a=2，求f（x）的最值
②若函數(shù)f（x）的最大值與最小值之差為2，求a的值．

Answer 1

分析 ①解不等式得出f（x）的定義域，根據(jù)f（x）的單調性求出f（x）的最值；
②對f（x）的單調性進行討論，根據(jù)最值差列方程解出a．

解答 解：①解不等式x²-6x+8≤0得2≤x≤4，
∴A=[2，4]．
當a=2時，f（x）=2^x在[2，4]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值為f（2）=4，
f（x）的最大值為f（4）=16．
②（i）若a＞1，則f（x）在[2，4]上是增函數(shù)，
∴f_min（x）=a²．f_max（x）=a⁴，
∴a⁴-a²=2，即（a²）²-a²-2=0，解得a²=2或a²=-1（舍），
∴a=$\sqrt{2}$．
（ii）若0＜a＜1，則f（x）在[2，4]上是減函數(shù)，
∴f_min（x）=a⁴．f_max（x）=a²，
∴a²-a⁴=2，即（a²）²-a²+2=0，方程無解．
綜上，a=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了不等式的解法，指數(shù)函數(shù)的單調性，屬于中檔題．