Question

3．在平面直角坐標系xoy中，曲線C₁的普通方程為x²+y²+2x-4=0，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x={t^2}\\ y=t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系．
（1）求曲線C₁，C₂的極坐標方程；
（2）求曲線C₁與C₂交點的極坐標（ρ，θ），其中ρ≥0，0≤θ＜2π．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的普通方程為x²+y²+2x-4=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得極坐標方程．曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x={t^2}\\ y=t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程：x=y²，利用互化公式可得C₂的極坐標方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x={y}^{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-4=0}\end{array}\right.$，解得交點直角坐標，再化為極坐標即可．

解答 解：（1）曲線C₁的普通方程為x²+y²+2x-4=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得極坐標方程：ρ²+2ρcosθ-4=0．
曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x={t^2}\\ y=t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為普通方程：x=y²，可得C₂的極坐標方程為ρcosθ=ρ²sin²θ，
即cosθ=ρsin²θ．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x={y}^{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+2x-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
可得極坐標$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，$（\sqrt{2}，\frac{7π}{4}）$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、曲線交點、參數(shù)方程化為直角坐標，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．