Question

13．設(shè)g（x）是定義在R上且滿足g（x+1）=g（x）的函數(shù)，若f（x）=2x+g（x）在[0，1]上的值域?yàn)閇-1，3]，則f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)閇-1，7]．

Answer 1

分析 把f（x）看成兩個(gè)函數(shù)y=2x和y=g（x）的“和”，因?yàn)楹瘮?shù)y=2x遞增，y=g（x）以1為周期，因此結(jié)合周期分別再求出y=f（x）在區(qū)間[1，2]和[2，3]的值域，即可得到函數(shù)f（x）在[0，3]上的值域．

解答 解：∵g（x+1）=g（x）
∴g（x）是周期為1的函數(shù)．
設(shè)x∈[1，2]，則x-1∈[0，1]，則f（x）=2x+g（x）=2（x-1）+g（x-1）+2
=f（x-1）+2   ①
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）∈[-1，3]
∴對(duì)于①式，f（x-1））∈[-1，3]，
∴f（x）=f（x-1）+2∈[1，5]
同理，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，則x-2∈[0，1]，則f（x）=2x+g（x）=2（x-2）+g（x-2）+4=f（x-2）+4   ②，
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）∈[-1，3]
∴對(duì)于②式，f（x-2）∈[-1，3]
∴f（x）=f（x-2）+4∈[3，7]
綜上，f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)閇-1，7]
故答案為：[-1，7]

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)f（x）的值域與y=2x和y=g（x）的值域之間的關(guān)系，不能錯(cuò)誤的將兩個(gè)函數(shù)的值域相加得到函數(shù)f（x）的值域．