Question

13．如圖，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD為矩形，△PCD為等邊三角形，$BC=\sqrt{2}AB$，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，平面PCD⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥BC；
（2）求二面角P-AM-D的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
（2）過點(diǎn)O垂直CD的直線為x軸，OC為y軸，OP為z軸，分別求出平面ADM的法向量和平面PAM的法向量，利用向量法能求出二面角P-AM-D的大小．

解答 解：（1）取CD的中點(diǎn)O，連接OP，
∵△PCD為等邊三角形，∴OP⊥CD，
又平面PCD⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，
∵CD⊥BC，∴BC⊥平面PCD，
∴PD⊥BC…（2分）
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)O垂直CD的直線為x軸，OC為y軸，OP為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
∵$BC=\sqrt{2}AB$，不妨設(shè)AB=2，則BC=2$\sqrt{2}$，
依題意得：A（2$\sqrt{2}$，-1，0），D（0，-1，0），
P（0，0，$\sqrt{3}$），M（$\sqrt{2}$，1，0），
∵OP⊥平面ABCD，∴$\overrightarrow{OP}=（0，0，\sqrt{3}）$是平面ADM的法向量，
設(shè)平面PAM的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，又$\overrightarrow{PA}=（2\sqrt{2}，-1，-\sqrt{3}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=2\sqrt{2}x-y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-\sqrt{2}x+2y=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，1，\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OP}$＞=$\frac{3}{\sqrt{6}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角P-AM-D的大小為45°．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查二面角的大小的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．