Question

1．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，2S_n=3a_n-2n（n∈N⁺）．
（Ⅰ）證明數列{a_n+1}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=a_n+2ⁿ+1，求證：$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$＜$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）再寫一式，兩式相減，即可證明數列{a_n+1}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）b_n=a_n+2ⁿ+1=3ⁿ+2ⁿ，可得$\frac{1}{{3}^{n}+{2}^{n}}$＜$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，即可證明結論．

解答 解：（Ⅰ）由2S_n=3a_n-2n得：2S_n-1=3a_n-1-2（n-1），
∴2S_n-2S_n-1=3a_n-3a_n-1-2，即：a_n=3a_n-1+2
∴a_n+1=3（a_n-1+1），所以{a_n+1}是以a₁+1為首項，公比為3的等比數列，
由2S₁=3a₁-2知a₁=2，
∴a_n+1=3ⁿ，即a_n=3ⁿ-1；
（Ⅱ）證明：b_n=a_n+2ⁿ+1=3ⁿ+2ⁿ，
∵3ⁿ+2ⁿ＞2ⁿ+2ⁿ=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{{3}^{n}+{2}^{n}}$＜$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{3+2}$+$\frac{1}{{3}^{2}+{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}+{2}^{n}}$＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n+1}}$．

點評 本題考查等比數列的證明，考查數列與不等式的綜合，考查放縮方法的運用，屬于中檔題．