Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．
（1）求點(diǎn)A到平面PCD的距離；
（2）若點(diǎn)Q為線段BP的中點(diǎn)，求直線CQ與平面ADQ所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，計(jì)AP與平面PCD所成的角的正弦值，即可得出A到平面PCD的距離；
（2）證明BP⊥平面ADQ，則$\overrightarrow{BP}$為平面ADQ的一個(gè)法向量，計(jì)算|cos＜$\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{CQ}$＞|即為直線CQ與平面ADQ所成角的正弦值．

解答 解：（1）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則A（0，0，0），P（0，0，2），C（2，1，0），D（0，2，0）．
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{CD}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2）．
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x+y=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{2}$，1，1）．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}$=2，cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$．
設(shè)AP與平面PCD所成角為θ，則sinθ=$\frac{2}{3}$．
∴A到平面PCD的距離為|AP|sinθ=2×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$．
（2）∵PA=AB，Q是PB的中點(diǎn)，
∴AQ⊥PB，
又AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，
∴AD⊥PB，
又AQ?平面ADQ，AD?平面ADQ，AQ∩AD=A，
∴PB⊥平面ADQ，
∴$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，2）為平面ADQ的一個(gè)法向量．
又Q（1，0，1），C（2，1，0），∴$\overrightarrow{CQ}$=（-1，-1，1）．
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$=4，cos＜$\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{CQ}$＞=$\frac{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}}{|\overrightarrow{BP}||\overrightarrow{CQ}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴直線CQ與平面ADQ所成角為arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量的應(yīng)用，空間距離與空間角的計(jì)算，多采用向量法來(lái)解決問(wèn)題，屬于中檔題．