Question

17．已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，F(xiàn)（x）=2e^x-1+x+lnx，f（x）=a（x-1）+3．
（1）求曲線y=F（x）在點（1，F(xiàn)（1））處的切線方程；
（2）當a≤4，x≥1時，求證：F（x）≥f（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算F（1），F(xiàn)′（1），代入切線方程即可；
（2）設(shè)H（x）=F（x）-f（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)H（x）的單調(diào)區(qū)間，求出其最小值，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）∵F（x）=2e^x-1+x+lnx=2e^-1e^x+x+lnx，
∴F′（x）=2e^-1e^x+1+$\frac{1}{x}$，F(xiàn)（1）=3，F(xiàn)′（1）=4，
∴y=F（x）在點（1，F(xiàn)（1））處的切線方程為y-3=4（x-1），
即4x-y-1=0．
（2）證明：設(shè)H（x）=F（x）-f（x），
則$H'（x）=2{e^{x-1}}+1+\frac{1}{x}-a$，
設(shè)$h（x）=2{e^{x-1}}+1+\frac{1}{x}-a$，
則$h'（x）=2{e^{x-1}}-\frac{1}{x^2}$．
∵x≥1，∴$2{e^{x-1}}≥2，-\frac{1}{x^2}≥-1，h'（x）≥1$，
∴h（x）在[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴當x≥1時，h（x）≥h（1），
即H'（x）≥4-a，
∵a≤4時，∴H'（x）≥4-a≥0，
∴當a≤4時，H（x）在[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴當a≤4，x≥1時，H（x）≥H（1），
即F（x）≥f（x）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線方程問題，是一道中檔題．