Question

15．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+c（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在同一周期中最高點坐標為（2，2），最低點的坐標為（8，-4）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦函數(shù)的圖象和性質可求最小正周期．
（2）由函數(shù)的最值求出A和C，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的單調性求出函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

解答 解：（1）由同一周期中最高點坐標為（2，2），最低點坐標為（8，-4），
可得：函數(shù)f（x）的最小正周期T=2×（8-2）=12，
（2）由同一周期中最高點坐標為（2，2），最低點坐標為（8，-4），
可得C=$\frac{2-4}{2}$=-1，A=2-（-1）=3，T=$\frac{2π}{ω}$=12，求得ω=$\frac{π}{6}$．
再把最高點坐標（2，2），代入函數(shù)的解析式可得 2=3sin（$\frac{π}{3}$+φ）-1，
即sin（$\frac{π}{2}$+φ）=1，結合，|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，
故函數(shù)的解析式為y=3sin（$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{6}$）-1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{6}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得12k-4≤x≤12k+2，k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[12k-4，12k+2]，k∈z．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A和C，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，正弦函數(shù)的圖象的單調性，屬于基礎題．