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6.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為3的菱形,∠ABC=60°,PA⊥面ABCD,且PA=3.E為PD中點(diǎn),F(xiàn)在棱PA上,且AF=1
(Ⅰ)求證:CE∥面BDF;
(Ⅱ)求三棱錐P-BDF的體積.

分析 (Ⅰ)取PF中點(diǎn)G,連接EG,CG.連接AC交BD于O,連接FO.由三角形中位線定理可得FO∥GC,GE∥FD.然后利用平面與平面平行的判定得到面GEC∥面FOD,進(jìn)一步得到CE∥面BDF;
(Ⅱ)由PA是三棱錐P-ABD的高,求出底面三角形ABD的面積,由三棱錐P-BDF的體積等于三棱錐P-ABD的體積與三棱錐F-ABD的體積差求解.

解答 證明:(Ⅰ)如圖所示,取PF中點(diǎn)G,連接EG,CG.
連接AC交BD于O,連接FO.
由題可得F為AG中點(diǎn),O為AC中點(diǎn),
∴FO∥GC;
又G為PF中點(diǎn),E為PD中點(diǎn),
∴GE∥FD.
又GE∩GC=G,GE、GC?面GEC,
FO∩FD=F,F(xiàn)O,F(xiàn)D?面FOD.
∴面GEC∥面FOD.
∵CE?面GEC,
∴CE∥面BDF;
解:(Ⅱ)∵PA⊥面ABCD,
∴PA是三棱錐P-ABD的高,
SABD=12×3×3×32=934,
VPABD=13×SABD×PA=934,
同理VFABD=13×SABD×FA=334
VPBDF=VPABDVFABD=332

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定,考查了棱錐體積得求法,考查空間想象能力和思維能力,是中檔題.

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