Question

15．已知函數(shù)$f（x）=2sinx+1（{\frac{1}{2}π＜x＜\frac{3}{2}π}）$，${f^{-1}}（{\frac{1}{2}}）$=arcsin$\frac{1}{4}+π$，（用反三角形式表示）

Answer 1

分析 由y=2sinx+1，解得x=arcsin$\frac{y-1}{2}$，（1＞y＞-1），把x與y互換可得y=arcsin$\frac{x-1}{2}$，即可得出．

解答 解：函數(shù)y=f（x）=2sinx+1，定義域為[$\frac{1}{2}π$，$\frac{3π}{2}$]，值域為[-1，3]
∵x∈[$\frac{1}{2}π$，$\frac{3π}{2}$]，
∴x-π∈[$-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]
于是y=-2sin（x-π）+1
2sin（x-π）=$\frac{1}{2}$（1-y）
x-π=arcsin$\frac{1-y}{2}$
把x與y互換可得y=arcsin$\frac{1-x}{2}$+π
那么：${f^{-1}}（{\frac{1}{2}}）$=arcsin$\frac{1}{4}+π$，
故答案為：arcsin$\frac{1}{4}+π$，

點評 本題考查了反函數(shù)的求法，屬于基礎題．