Question

橢圓的中心在坐標原點，長軸的端點為A，B，右焦點為F，且，

AF

•

FB

=1，|

OF

|=1．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過橢圓的右焦點F作直線l₁，l₂，直線l₁與橢圓分別交于點M，N，直線l₂與橢圓分別交于點P，Q，且l₁⊥l₂，求四邊形MPNQ面積取最小值以及直線l₁，l₂的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），則由題意知c=1，（a+c）（a-c）=1，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ） 若直線l₁，l₂中有一條斜率不存在，能求出S=2；若直線l₁，l₂的斜率存在，設(shè)直線l₁的方程為：y=k（x-1），k≠0，則

y=k(x-1) x2+2y2=2

，得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件推導出S=

1

2

×

2 2 (1+k2)

1+2k2

-

2 2 (1+k2)

2+k2

=

4

2+ 1 k2+k-2+2

≥

16

9

，由此能求出四邊形的面積的最小值為

16

9

，此時直線為：y=x-1．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
則由題意知c=1，
由

AF

•

FB

=1，得（a+c）（a-c）=1，
解得a²=2，b²=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ） ①若直線l₁，l₂中有一條斜率不存在，不妨設(shè)直線l₂的斜率不存在，則l₂⊥x軸，
∴|MN|=2

2

，∴|PQ|=

2

，
∴S=

1

2

×2

2

×

2

=2．
②若直線l₁，l₂的斜率存在，設(shè)直線l₁的方程為：y=k（x-1），k≠0，
則

y=k(x-1) x2+2y2=2

，得：（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
△=16k⁴-4（2k²+1）（2k²-2）＞0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2 2 (1+k2)

1+2k2

，
同理，|PQ|=

2 2 (1+k2)

2+k2

，
∴S=

1

2

×

2 2 (1+k2)

1+2k2

-

2 2 (1+k2)

2+k2

=

4

2+ 1 k2+k-2+2

≥

16

9

，
當且僅當k=±1時，等號成立，
綜上四邊形的面積的最小值為

16

9

，此時直線為：y=x-1．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積的最小值及此時直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．