Question

如圖，AB是⊙0的直徑，點(diǎn)C是⊙0上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)VC垂直于⊙0所在平面，且AC=

3

VC．
（Ⅰ）求證：平面VAC⊥平面VBC；
（Ⅱ）求直線(xiàn)VA與平面VBC所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得VC⊥AC，AC⊥BV．從而AC⊥平面VBC，由此能證明平面VAC⊥平面VBC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠AVC為直線(xiàn)VC與平面VBC所成的角．由此能求出直線(xiàn)V與平面VBC所成的角．

解答： （Ⅰ）證明：∵VC⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴VC⊥AC．
又C是⊙O上的點(diǎn)，AB是直徑，
∴AC⊥BV．
∵VC?平面VAC，BC?平面VAC，VC∩BC=C，
∴AC⊥平面VBC．
又AC?平面VAC，
∴平面VAC⊥平面VBC．…（7分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∠AVC為直線(xiàn)VC與平面VBC所成的角．
在Rt△ACV中，tan∠AVC=

AC

VC

=

3

，
∴∠AVC=60°．
∴直線(xiàn)V與平面VBC所成的角為60°．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線(xiàn)與平面所成的角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．