Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，則a的取值范圍為[0，8]．

Answer 1

分析 由題意設(shè)g（x）=f（x）+2x，（x＞0），g（x）是增函數(shù)，即g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求出a的取值范圍．

解答 解：令g（x）=f（x）+2x=ax²-ax+lnx，（x＞0）；
由題意知g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
所以g'（x）=2ax-a+$\frac{1}{x}$≥0在（0，+∞）上恒成立，
即2ax²-ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立；
令h（x）=2ax²-ax+1，（x＞0）；
則①若a=0，h（x）=1≥0恒成立，
②若a＜0，二次函數(shù)h（x）≥0不恒成立，舍去
③若a＞0，二次函數(shù)h（x）≥0恒成立，
只需滿足最小值h（$\frac{1}{4}$）≥0，
即$\frac{a}{8}$-$\frac{a}{4}$+1≥0，解得0＜a≤8；
綜上，a的取值范圍是[0，8]．
故答案為：[0，8]．

點評 本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的增減性和恒成立問題的解法，是中檔題．