Question

18．已知函數f（x）的定義域為D，若同時滿足以下兩個條件：
①函數f（x）在D內是單調遞減函數；
②存在區(qū)間[a，b]∈D，使函數f（x）在[a，b]內的值域是[-b，-a]．
那么稱函數f（x）為“W函數”．
已知函數f（x）=-$\sqrt{x}$-k為“W函數”．實數k的取值范圍是（-$\frac{1}{4}$，0]．

Answer 1

分析 可令$\sqrt{x}$=t，（t≥0），從而得到方程-t-k=-t²，即一元二次方程t²-t-k=0在[0，+∞）上有兩個不同實數根，從而可得到關于k的不等式組，解該不等式組即可得出實數k的取值范圍．

解答 解：令$\sqrt{x}$=t（t≥0），由方程-$\sqrt{x}$-k=-x得，-t-k=-t²；
∴t²-t-k=0在[0，+∞）上有兩個不同實數根；
設g（t）=t²-t-k，則：$\left\{\begin{array}{l}{△=1+4k＞0}\\{g（0）=-k≥0}\end{array}\right.$；
解得-$\frac{1}{4}$＜k≤0；
∴實數k的取值范圍為（-$\frac{1}{4}$，0]．
故答案為：（-$\frac{1}{4}$，0]．

點評 考查對“W函數”定義的理解，減函數的定義，清楚y=-x在[a，b]上的值域為[-b，-a]，換元法將無理方程變成有理方程的方法，一元二次方程實數根的個數和判別式△取值的關系，要熟悉二次函數的圖象．