Question

下表為某專(zhuān)業(yè)的學(xué)生的畢業(yè)綜合能力測(cè)試成績(jī)（百分制）的頻率分布表，已知80～90分?jǐn)?shù)段的學(xué)生數(shù)為21人．

分?jǐn)?shù)段	[65，70）	[70，75）	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100]
頻率	0.05	0.2	0.25	0.2	0.15		0.05

（Ⅰ）求該專(zhuān)業(yè)畢業(yè)生綜合能力測(cè)試成績(jī)?cè)?0～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅱ）現(xiàn)欲將90～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的畢業(yè)生派往甲、乙、丙三個(gè)單位，若向甲單位派往兩名畢業(yè)生，且其中至少有一名男生的概率分為

3

5

．求90～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)男女各幾人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結(jié)論下，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示派往乙單位的三名學(xué)生中男生的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布表,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由頻率分布表求出80～90分?jǐn)?shù)段的畢業(yè)生的頻率為0.35，由80～90分?jǐn)?shù)段的學(xué)生總數(shù)為21人，從而能求出畢業(yè)生的總?cè)藬?shù)為60，再求出90～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)頻率，由此能求出90～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)．
（Ⅱ）90～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)共有6名畢業(yè)生，設(shè)其中男生x名，女生為6-x名，設(shè)派往甲校的兩名畢業(yè)生中至少有一名男畢業(yè)生為事件A，則P（A）=1-

C 2 6-x

C 2 6

=

3

5

，由此能求出6名畢業(yè)生中有男生2人，女生4人．
（Ⅲ）ξ表示6名畢業(yè)生中派往乙校的三名學(xué)生中男生的人數(shù)，ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）由頻率分布表知：
80～90分?jǐn)?shù)段的畢業(yè)生的頻率為：p₁=0.2+0.15=0.35，
∵80～90分?jǐn)?shù)段的學(xué)生總數(shù)為21人，
∴畢業(yè)生的總?cè)藬?shù)為N=

21

0.35

=60，
90～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)頻率為：
P=1-（0.05+0.2+0.25+0.2+0.15+0.05）=0.1．
∴90～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為60×0.1=6．
（Ⅱ）90～95分?jǐn)?shù)段內(nèi)共有6名畢業(yè)生，設(shè)其中男生x名，女生為6-x名，
設(shè)派往甲校的兩名畢業(yè)生中至少有一名男畢業(yè)生為事件A，
則P（A）=1-

C 2 6-x

C 2 6

=

3

5

，
解得x=2或x=9（舍），
∴6名畢業(yè)生中有男生2人，女生4人．
（Ⅲ）ξ表示6名畢業(yè)生中派往乙校的三名學(xué)生中男生的人數(shù)，ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

，
P（ξ=1）=

C 1 2 C 2 4

C 3 6

=

3

5

，
P（ξ=2）=

C 2 2 C 1 4

C 3 6

=

1

5

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	1 5	3 5	1 5

Eξ=0×

1

5

+1×

3

5

+2×

1

5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．