Question

已知函數(shù)f（x）=（a-x）e^x+b，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為ex+y+1-e=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=

f(x)

x

，求證：存在x₀≠0，使得g（x₀）＞1-

2

e

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（1）=-1，且f′（1）=-e，列方程，解得a，b，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)g′（x）=0的一個(gè)根為x₀，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，可得-2＜x₀＜-1，即x₀為g（x）的極大值點(diǎn)，而g（-1）=1-

2

e

，即可得證．

解答： （Ⅰ）解：函數(shù)f（x）=（a-x）e^x+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（a-x-1）e^x，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為ex+y+1-e=0，
即有f（1）=-1，且f′（1）=-e，
即（a-1）e+b=-1且（a-2）e=-e，
解得a=1，b=-1，
即有f（x）=（1-x）e^x-1；
（Ⅱ）證明：g（x）=

f(x)

x

=

(1-x)ex-1

x

，
g′（x）=

1-ex(x2-x+1)

x2

，
設(shè)g′（x）=0的一個(gè)根為x₀，
由于g′（-2）=

1-e-2(4+2+1)

4

＞0，g′（-1）=1-3e^-1＜0，
即有-2＜x₀＜-1，
即x₀為g（x）的極大值點(diǎn)，
而g（-1）=1-

2

e

．
故存在x₀≠0，使得g（x₀）＞1-

2

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間及極值，運(yùn)用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理是解題的關(guān)鍵．