Question

20．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，tan$\frac{α}{2}=\frac{1}{2}$，cos（β-α）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
（1）求sinα的值；
（2）求sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系即可求出，
（2）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的正弦公式即可求出．

解答 解：（1）tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{4}{3}$，
所以$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{4}{3}$．
又因為sin²α+cos²α=1，
解得sin α=$\frac{4}{5}$．
（2）因為0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，
所以0＜β-α＜π．
因為cos（β-α）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
所以sin（β-α）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
因為0＜α＜$\frac{π}{2}$，sin α=$\frac{4}{5}$．
所以cos α=$\frac{3}{5}$，
所以sin β=sin[（β-α）+α]，
=sin（β-α）cos α+cos（β-α）sin α，
=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{10}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了二倍角公式和兩角和的正弦公式以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．